home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Graphics Plus / Graphics Plus.iso / general / fractal / kaos.lha / helplib / online_help.12 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1990-02-13  |  8.2 KB  |  266 lines
  1. /*
  2.     This file is automatically written by kwrite_info.
  3. */
  4. /* KAOS DYNAMICAL SYSTEM CLASS = class_demo */
  5.  
  6. d4hammm (D4 nilpotent HAMiltonian [Minus Minus])
  7.     A nilpotent Hamiltonian vector field which is symmetric
  8.     under D4, the symmetry group of the square.  
  9.     The "[Minus Minus]" part of the mnemonic refers to two
  10.        minus signs present in the expression for the vector 
  11.        field.  Compare with "d4hampp."
  12.     The vector field on R^4 = {(x,y,z,w)} is given by 
  13.         xdot = y
  14.         ydot = x(mu-(x^2 + z^2)) + delta(x)(z^2)
  15.         xdot = w
  16.         xdot = w(mu-(x^2 + z^2)) + delta(z)(x^2)
  17.     The parameters are  mu  and  delta.
  18.     Polar coordinates are enabled.  The polar variables
  19.        are  r,  rp,  theta, and  thetap.
  20.  
  21.     This system has three auxiliary functions:
  22.     Energy = 0.5(y^2 + w^2) - 0.5 mu(x^2+z^2) + 
  23.             0.25(x^2 + z^2)^2 - 0.5 delta(x^2)(z^2)
  24.     AngMom = yz - xw
  25.     t = time
  26.  
  27. ----------
  28. d4hampp (D4 nilpotent HAMiltonian [Plus Plus])
  29.     A nilpotent Hamiltonian vector field which is symmetric
  30.     under D4, the symmetry group of the square.  
  31.     The "[Plus Plus]" part of the mnemonic refers to two
  32.        plus signs which appear in the expression for the
  33.        vecto field.  Compare with "d4hammm."
  34.     The vector field on R^4 = {(x,y,z,w)} is given by 
  35.         xdot = y
  36.         ydot = x(mu+(x^2 + z^2)) + delta(x)(z^2)
  37.         xdot = w
  38.         xdot = w(mu+(x^2 + z^2)) + delta(z)(x^2)
  39.     The parameters are  mu  and  delta.
  40.     Polar coordinates are enabled.  The polar variables
  41.        are  r,  rp,  theta, and  thetap.
  42.  
  43.     This system has three auxiliary functions:
  44.     Energy = 0.5(y^2 + w^2) - 0.5 mu(x^2+z^2) + 
  45.             0.25(x^2 + z^2)^2 - 0.5 delta(x^2)(z^2)
  46.     AngMom = yz - xw
  47.     t = time
  48.  
  49. ----------
  50. d4dissmmp (D4 DISSipative [Minus Minus Plus])
  51.     A dissipative vector field which is symmetric
  52.     under D4, the symmetry group of the square.  
  53.     The "[Minus Minus Plus]" part of the mnemonic refers to three
  54.        signs present in the expression for the vector 
  55.        field.
  56.     The vector field on R^4 = {(x,y,z,w)} is given by 
  57.         xdot = y
  58.         ydot = x(mu-(x^2 + z^2)) + delta(x)(z^2)
  59.                + epsilon(-y (x^2 + z^2) + nu y
  60.                + Axz2(x)(x y + z w) + Ayz2(y)z^2
  61.         xdot = w
  62.         xdot = w(mu-(x^2 + z^2)) + delta(z)(x^2)
  63.                + epsilon(-w (x^2 + z^2) + nu w
  64.                + Axz2(z)(x y + z w) + Ayz2(w)x^2
  65.     The parameters are:
  66.         mu, delta, epsilon, nu, Axz2, Ayz2.
  67.     Polar coordinates are enabled.  The polar variables
  68.        are  r,  rp,  theta, and  thetap.
  69.  
  70.     This system has two auxiliary functions:
  71.     Energy = 0.5(y^2 + w^2) - 0.5 mu(x^2+z^2) + 
  72.             0.25(x^2 + z^2)^2 - 0.5 delta(x^2)(z^2)
  73.     AngMom = yz - xw
  74.     Note that in general the energy and angular momentum are 
  75.     not preserved.
  76.  
  77. ----------
  78. lorenz: (LORENZ system)
  79.     A three dimensional vector field resulting from a 
  80.     truncation of a partial differential equation which
  81.     models two-dimensional fluid convection.  The system
  82.     was first studied by Lorenz in  J. ATMOS. SCI. 63 
  83.     (1963).  The vector field is defined by
  84.         xdot = sigma (y -x)
  85.         ydot = rho x - y - xz
  86.         zdot = -beta z + xy
  87.     The parameters are  sigma,  rho, and  beta.
  88.  
  89.     There are three auxiliary functions:
  90.     t = time
  91.     x+y = sum of x and y coordinates
  92.     x-y = difference of x and y coordinates
  93.  
  94. ----------
  95.        
  96.  
  97.  
  98.            
  99.  
  100. nlmathieu: (NonLinear MATHIEU equation)
  101.     This vector field describes the motion of a 
  102.     pendulum with a periodically excited support.
  103.     This system is described in Guckenheimer/Holmes
  104.     pp. 29-32 and references within.
  105.     The vector field is given by
  106.         xdot = y
  107.         ydot = -damp y - (omega^2 + ampl cos(t)) sin(x)
  108.         tdot = 1
  109.            The parameters are  omega,  ampl,  damp.
  110.  
  111.     There are no auxiliary functions.
  112.  
  113. ----------
  114. dpfosc2: (Dissipative Periodic Forced OSCillator, version 2)
  115.     This vector field describes the motion of a damped
  116.     and periodically forced pendulum.  
  117.     The vector field is given by
  118.         xdot = y
  119.         ydot = dcampl + acampl cos(2 pi f_omega t) 
  120.             - damp y - n_omega sin(2 pi x)
  121.     The parameters are  f_omega (forcing frequency),
  122.     acampl (amplitude of "AC" forcing), dcampl (amplitude
  123.     of "DC" forcing),  damp (damping coefficient), and
  124.     n_omega (natural frequency.
  125.  
  126.     This system is periodic (with period 1) in the x-coordinate.
  127.     Time is an auxiliary function.
  128.  
  129. ----------
  130. henonmap: (HENON MAP)
  131.     A mapping in the plane given by
  132.         (x, y) -> (1 + y - ax^2, bx).
  133.     For  b  not zero, this mapping has an explicit inverse
  134.     giving by 
  135.         (x, y) -> ( 1/(bx), -1 + x + (ay^2)/(b^2)  
  136.     The parameters are  a  and  b.
  137.  
  138.     There are no auxiliary functions for this map.
  139.  
  140. ----------
  141. kotorusmap: (Kim-Ostlund TORUS MAP)
  142.     A mapping on the two-dimensional torus, ie, the unit
  143.     square with edges identified.
  144.     The mapping is defined by a nonlinear perturbation of
  145.     a translation:
  146.         f(x,y) = ( f1(x,y), f2(x,y) )  where
  147.         f1(x,y)= x + wx - a(asymm)/(2 pi) sin(2 pi y);
  148.         f2(x,y)= y + wy - a/(2 pi asymm) sin(2 pi x);
  149.     An explicit inverse does not exist, but inverses may be
  150.     computed implicitly.
  151.     The parameters are  wx,  wy,  a, and  asymm.
  152.  
  153.     The variables  x  and  y   are periodic with period 1.
  154.     This system has two auxiliary functions:
  155.     rhox = f1(x,y) - x 
  156.     rhoy = f2(x,y) - y
  157.     These functions are related the the concept of a 
  158.     "rotation vector."  See Baesens, Guckenheimer, Kim, and
  159.     MacKay, Preprint, 1990.
  160.  
  161. ----------
  162. dissstandmap: (DISSipative STANDard MAP)
  163.     A map from the cylinder to itself defined by
  164.         x -> b r - k/(2 pi) sin(2 pi x)
  165.         r -> x + w + (x_new)
  166.     This map has an explicit inverse given by 
  167.         x -> x - w - r
  168.         r -> (r + k/(2 pi) sin(2 pi x_new))/b
  169.     The parameters are  w,  k,  and  b.
  170.     The variable  x  is periodic with period 1.
  171.     
  172.     There is a single auxiliary function defined by
  173.     rhox = b r - k/(2 pi) sin(2 pi x) - x
  174.  
  175. ----------
  176.           
  177. siegelmap: (SIEGEL MAP)
  178.     This is a map on the complex plane defined by
  179.         z -> exp(i rho)(z - (1/p)(z^p)).
  180.     The parameters are  rho (the rotation) and  
  181.        p (the power);  both parameters are real.
  182.     The region in which the Seigel map is 
  183.        diffeomorphically conjugate to a rotation 
  184.        has a fractal boundary for certain parameter 
  185.        values.
  186.  
  187. ----------
  188. martyd3: (MARTY golubisky's D3 symmetric map)
  189.     This is a mapping from the complex plane to itself
  190.     which is symmetric under the group D3.  Let REAL
  191.     and IMAG denote the operators which take the real
  192.     and imaginary part of a complex number.  Let z=x+iy
  193.     be complex and let 
  194.        iv = alpha |z| + lambda + beta REAL(z^3).
  195.     Then this map is defined by
  196.         x -> iv x + gamma REAL(z^2)
  197.         y -> iv y - gamma IMAG(z^2).
  198.     The parameters are  alpha,  lambda,  beta, and  gamma.
  199.  
  200.     There are two auxiliary functions:    
  201.     Modulus = |z|
  202.     Re(Z^3) = REAL(z^3)
  203.  
  204. ----------
  205.     
  206. henonheiles: (HENON-HEILES equation)
  207.     This Hamiltonian vector field is a classic example of 
  208.     a non-integrable Hamiltonian. The system was first
  209.     discussed in Astron. J. 69 (1964).
  210.     We write  px  and  py  for the momenta corresponding to
  211.     the  x  and  y  directions.  Then the vector field is 
  212.     given by 
  213.         xdot  = px
  214.         pxdot = -x - epsilon 2xy
  215.         ydot  = py
  216.         pydot = -y - epsilon (x^2 - y^2)
  217.     The parameter is  epsilon.
  218.  
  219.     There are three auxiliary functions:
  220.  
  221.     Energy = 0.5( (px)^2 + (py)^2 + x^2 + y^2) +
  222.               epsilon (yx^2 - (1/3)y^3)
  223.     AngMom = xy - (px)(py)
  224.     t = time
  225.  
  226. ----------
  227. vanderpol: (VAN DER POL equation)
  228.     This vector field describes the motion of the Van der Pol
  229.     oscillator.  See Guckenheimer/Holmes and references within
  230.     for a theoretical discussion of this system's dynamics.
  231.     The vector field is given by
  232.             xdot = y - alpha( (1/3)x^3 - x)
  233.             ydot = -x + beta cos(omega t)
  234.     The parameters are  alpha,  beta, and  omega.
  235.  
  236.     Time is an auxiliary function.
  237.  
  238. ----------
  239. duffing: (DUFFING's equation)
  240.     This vector field describes a periodically forced, damped,
  241.     nonlinear oscillator.  The nonlinearity is cubic in space.
  242.     The vector field is given by 
  243.         xdot = y
  244.         ydot = beta x - x^3 - delta y + gamma cos(omega t)
  245.     The parameters are  delta,  beta,  gamma, and  omega.
  246.  
  247.     Time is an auxiliary function.
  248.  
  249. ----------
  250. simpletorusmap: (SIMPLE TORUS MAP)
  251.     A mapping on the two-dimensional torus, ie, the unit
  252.         square with edges identified.
  253.         The mapping is defined by 
  254.         (x,y) -> ( f1(x,y), f2(x,y) )   where
  255.         f1(x,y) = x + e(wx + cos(2 pi x) + a cos(2 pi y))
  256.         f2(x,y) = y + e(wy + sin(2 pi x) + a sin(2 pi y))
  257.     The parameters are  wx,  wy,  a, and  e.
  258.     The variables  x  and  y  are periodic with period 1.
  259.  
  260.     There are two auxiliary functions:
  261.     rhox = f1(x,y) - x 
  262.     rhoy = f2(x,y) - y
  263.     These measure the degree of nonlinearity in each variable.
  264.  
  265. ----------
  266.